早稲田大学
2016年 政治経済学部 第4問
4
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以下の問に答えよ.
(1) 次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ.
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある.角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \ \ \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき,長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\fbox{ア}$となる.したがって,$x=\fbox{イ}$のとき最大面積$\fbox{ウ}$をとる.
(2) 半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角 \[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし,} \ \ \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \] がすべて$\alpha \ \ (0<\alpha<\pi)$に等しいとする.このとき,次の問に答えよ.
(ⅰ) $a_k \ \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする.角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \ \ \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき,$a_k$,$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を,$\theta_k$,$\alpha$を用いて表せ.
(ⅱ) $n$が奇数のとき,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ.
(ⅲ) $n$が偶数のとき,$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ.さらに,その等しい角を$\theta$とおいて,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$,$\theta$を用いて表せ. [$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し,$\tokeisan$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ.
\imgc{304_1_2016_2}
(1) 次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ.
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある.角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \ \ \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき,長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\fbox{ア}$となる.したがって,$x=\fbox{イ}$のとき最大面積$\fbox{ウ}$をとる.
(2) 半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角 \[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし,} \ \ \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \] がすべて$\alpha \ \ (0<\alpha<\pi)$に等しいとする.このとき,次の問に答えよ.
(ⅰ) $a_k \ \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする.角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \ \ \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき,$a_k$,$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を,$\theta_k$,$\alpha$を用いて表せ.
(ⅱ) $n$が奇数のとき,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ.
(ⅲ) $n$が偶数のとき,$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ.さらに,その等しい角を$\theta$とおいて,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$,$\theta$を用いて表せ. [$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し,$\tokeisan$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ.
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