信州大学
2013年 文系 第2問
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自然数$a_1,\ a_2$が,
\[ a_1 \leqq a_2,\quad a_1+a_2=a_1a_2 \hfill (1) \]
を満たすとき,$a_1,\ a_2$を次のように求めることができる. \\ \\
{\bf 解法} \\
(1)の2式の両辺を$a_1a_2$で割ると
\[ \frac{1}{a_2} \leqq \frac{1}{a_1},\quad \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}=1 \]
を得る.よって,この2つの式を組み合わせて
\[ 1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2} \leqq \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1}=\frac{2}{a_1} \]
を得る.これより$a_1 \leqq 2$である.$a_1=1$のとき,これを(1)の右の式に代入すると$1+a_2=a_2$となって矛盾する.$a_1=2$のとき,これを(1)の右の式に代入すると$a_2=2$となる.逆に$a_1=a_2=2$は(1)の2式を満たす.よって$a_1=a_2=2$となる.
\end{screen}
必要があれば上の解法を参考にして,自然数$a_1,\ a_2,\ a_3$が
\[ a_1 \leqq a_2 \leqq a_3,\quad a_1+a_2+a_3=a_1a_2a_3 \]
を満たすとき,$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ.
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