信州大学
2013年 文系 第2問

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\begin{align}&\nonumber\end{align}\begin{screen}自然数a_1,a_2が,a_1≦a_2,a_1+a_2=a_1a_2(1)を満たすとき,a_1,a_2を次のように求めることができる.\\\{\bf解法}\\(1)の2式の両辺をa_1a_2で割ると\frac{1}{a_2}≦\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}=1を得る.よって,この2つの式を組み合わせて1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}≦\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1}=\frac{2}{a_1}を得る.これよりa_1≦2である.a_1=1のとき,これを(1)の右の式に代入すると1+a_2=a_2となって矛盾する.a_1=2のとき,これを(1)の右の式に代入するとa_2=2となる.逆にa_1=a_2=2は(1)の2式を満たす.よってa_1=a_2=2となる.\end{screen}必要があれば上の解法を参考にして,自然数a_1,a_2,a_3がa_1≦a_2≦a_3,a_1+a_2+a_3=a_1a_2a_3を満たすとき,a_1,a_2,a_3を求めよ.
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\begin{align} & \nonumber \end{align} \begin{screen} 自然数$a_1,\ a_2$が, \[ a_1 \leqq a_2,\quad a_1+a_2=a_1a_2 \hfill (1) \] を満たすとき,$a_1,\ a_2$を次のように求めることができる. \\ \\ {\bf 解法} \\ (1)の2式の両辺を$a_1a_2$で割ると \[ \frac{1}{a_2} \leqq \frac{1}{a_1},\quad \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}=1 \] を得る.よって,この2つの式を組み合わせて \[ 1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2} \leqq \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1}=\frac{2}{a_1} \] を得る.これより$a_1 \leqq 2$である.$a_1=1$のとき,これを(1)の右の式に代入すると$1+a_2=a_2$となって矛盾する.$a_1=2$のとき,これを(1)の右の式に代入すると$a_2=2$となる.逆に$a_1=a_2=2$は(1)の2式を満たす.よって$a_1=a_2=2$となる. \end{screen} 必要があれば上の解法を参考にして,自然数$a_1,\ a_2,\ a_3$が \[ a_1 \leqq a_2 \leqq a_3,\quad a_1+a_2+a_3=a_1a_2a_3 \] を満たすとき,$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ.
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詳細情報

大学(出題年) 信州大学(2013)
文理 文系
大問 2
単元 整数の性質(数学A)
タグ 自然数不等号両辺分数代入矛盾必要参考
難易度 未設定

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