岡山大学
2011年 文系 第3問
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平面上の異なる$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$は同一直線上にないものとする.この平面上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 0 \]
を満たすとき,次の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{P}$の軌跡が円となることを示せ.
(2) $(1)$の円の中心を$\mathrm{C}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ.
(3) $\mathrm{O}$との距離が最小となる$(1)$の円周上の点を$\mathrm{P}_0$とする.$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が条件 \[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+5\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+4|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 = 0 \] を満たすとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP_0}} = s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$の値を求めよ.
(1) $\mathrm{P}$の軌跡が円となることを示せ.
(2) $(1)$の円の中心を$\mathrm{C}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ.
(3) $\mathrm{O}$との距離が最小となる$(1)$の円周上の点を$\mathrm{P}_0$とする.$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が条件 \[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+5\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+4|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 = 0 \] を満たすとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP_0}} = s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$の値を求めよ.
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