武庫川女子大学
2014年 薬(薬) 第1問
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次の空欄$\fbox{$1$}$~$\fbox{$24$}$にあてはまる数字を記入せよ.ただし,空欄$\fbox{$21$}$には,$+$または$-$の記号が入る.
(1) $a_1=m$(ただし,$m>0$),$a_{n+1}-a_n=-4$(ただし,$n$は自然数)で定められる数列$\{a_n\}$がある.
$a_n=m-\fbox{$1$}(n-\fbox{$2$})$であり,
$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とすると,$n$が$\displaystyle \frac{m+\fbox{$3$}}{\fbox{$4$}}$に最も近い整数であるとき,$S_n$は最大値をとる.
したがって,ある$m$の値について,$S_n$が,$n=10$で最大となるとき,とり得る$m$の値の範囲は$\fbox{$5$}\fbox{$6$} \leqq m \leqq \fbox{$7$}\fbox{$8$}$であり,$m=\fbox{$7$}\fbox{$8$}$のとき,$S_{10}=\fbox{$9$}\fbox{$10$}\fbox{$11$}$である.
(2) $\angle \mathrm{AOB}$を直角とする直角三角形$\mathrm{OAB}$がある.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする.線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし,$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とし,$\mathrm{BP}=1$とする.
(ⅰ) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\fbox{$12$}}{\fbox{$13$}} \overrightarrow{a}+\frac{\fbox{$14$}}{\fbox{$13$}} \overrightarrow{b}$,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{\fbox{$15$}}{\fbox{$16$}} \overrightarrow{a}+\frac{\fbox{$17$}}{\fbox{$16$}} \overrightarrow{b}$であり,
$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=\fbox{$18$}|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$である.
(ⅱ) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき,$|\overrightarrow{b}|=\fbox{$19$}$であり,$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{$20$}$である.
(ⅲ) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=2 \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$のなす角を$\theta$とすると,
$\displaystyle \cos \theta=\fbox{$21$} \frac{\fbox{$22$} \sqrt{\fbox{$23$}}}{\fbox{$24$}}$である.
(1) $a_1=m$(ただし,$m>0$),$a_{n+1}-a_n=-4$(ただし,$n$は自然数)で定められる数列$\{a_n\}$がある.
$a_n=m-\fbox{$1$}(n-\fbox{$2$})$であり,
$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とすると,$n$が$\displaystyle \frac{m+\fbox{$3$}}{\fbox{$4$}}$に最も近い整数であるとき,$S_n$は最大値をとる.
したがって,ある$m$の値について,$S_n$が,$n=10$で最大となるとき,とり得る$m$の値の範囲は$\fbox{$5$}\fbox{$6$} \leqq m \leqq \fbox{$7$}\fbox{$8$}$であり,$m=\fbox{$7$}\fbox{$8$}$のとき,$S_{10}=\fbox{$9$}\fbox{$10$}\fbox{$11$}$である.
(2) $\angle \mathrm{AOB}$を直角とする直角三角形$\mathrm{OAB}$がある.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする.線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし,$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とし,$\mathrm{BP}=1$とする.
(ⅰ) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\fbox{$12$}}{\fbox{$13$}} \overrightarrow{a}+\frac{\fbox{$14$}}{\fbox{$13$}} \overrightarrow{b}$,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{\fbox{$15$}}{\fbox{$16$}} \overrightarrow{a}+\frac{\fbox{$17$}}{\fbox{$16$}} \overrightarrow{b}$であり,
$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=\fbox{$18$}|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$である.
(ⅱ) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき,$|\overrightarrow{b}|=\fbox{$19$}$であり,$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{$20$}$である.
(ⅲ) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=2 \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$のなす角を$\theta$とすると,
$\displaystyle \cos \theta=\fbox{$21$} \frac{\fbox{$22$} \sqrt{\fbox{$23$}}}{\fbox{$24$}}$である.
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