早稲田大学
2015年 教育 第3問
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平面上に長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{n}$がある.また,$a$は$a>1$をみたす定数とする.平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$に対して,ベクトル$\overrightarrow{y}$を
\[ \overrightarrow{y}=\overrightarrow{x}-a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}) \overrightarrow{n} \]
により定める.ただし,$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}$はベクトルの内積を意味し,$a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n})$はその$a$倍の実数を表している.
(1) すべてのベクトル$\overrightarrow{x}$に対して$|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|$が成り立つための必要十分条件は,$a=2$であることを示せ.
(2) $\overrightarrow{x} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする.$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とし,$\overrightarrow{y}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\phi$とする.このとき,$a$と$\cos \theta$を用いて$\cos \phi$を表せ.
(1) すべてのベクトル$\overrightarrow{x}$に対して$|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|$が成り立つための必要十分条件は,$a=2$であることを示せ.
(2) $\overrightarrow{x} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする.$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とし,$\overrightarrow{y}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\phi$とする.このとき,$a$と$\cos \theta$を用いて$\cos \phi$を表せ.
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