島根大学
2011年 医学部 第2問
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半径$1$の球を$\mathrm{O}_1$とし，球$\mathrm{O}_1$に内接する立方体を$\mathrm{B}_1$とする．次に立方体$\mathrm{B}_1$に内接する球を$\mathrm{O}_2$とし，球$\mathrm{O}_2$に内接する立方体を$\mathrm{B}_2$とする．以下この操作を繰り返してできる球を$\mathrm{O}_n$，立方体を$\mathrm{B}_n \ (n=3,\ 4,\ \cdots)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 立方体$\mathrm{B}_1$の$1$辺の長さ$l_1$を求めよ．
(2) 球$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ．
(3) 球$\mathrm{O}_n$の体積を$V_n$とし，$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ．
(1) 立方体$\mathrm{B}_1$の$1$辺の長さ$l_1$を求めよ．
(2) 球$\mathrm{O}_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ．
(3) 球$\mathrm{O}_n$の体積を$V_n$とし，$S_k=V_1+V_2+\cdots+V_k$とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} S_k$を求めよ．
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