島根大学
2013年 総合理工（数理・情報システム） 第3問
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数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，$\displaystyle a_1=1,\ b_1=0,\ a_{n+1}=\frac{1}{4}a_n-\frac{\sqrt{3}}{4}b_n,\ b_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}a_n+\frac{1}{4}b_n$によって定め，座標が$(a_n,\ b_n)$である点を$\mathrm{C}_n$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3) $S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3) $S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．
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