東京電機大学
2013年 工・未来科学・理工・情報環境A 第5問
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![OA=OB=OC=√5,AB=BC=CA=2である四面体OABCを考える.ABの中点をMとし,MからOCに下ろした垂線とOCの交点をNとする.△ABCの重心をGとし,OGとMNの交点をPとする.ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとして,次の問に答えよ.(1)内積ベクトルa・ベクトルcとベクトルb・ベクトルcの値を求めよ.(2)ベクトルONをベクトルcを用いて表せ.(3)ベクトルOPをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(4)四面体PABGの体積は四面体OABCの体積の何倍かを求めよ.](./thumb/262/2267/2013_5.png)
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$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{5}$,$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える.$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし,$\mathrm{M}$から$\mathrm{OC}$に下ろした垂線と$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{N}$とする.$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし,$\mathrm{OG}$と$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とする.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として,次の問に答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(4) 四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(4) 四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ.
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