首都大学東京
2016年 都市教養（理系） 第1問
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曲線$y=\log x$を$C$で表す．$1<p<e$をみたす実数$p$に対し，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ \log p)$における接線を$\ell$とし，$\ell$の方程式を$y=ax+b$とする．ただし，$\log x$は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．以下の問いに答えなさい．
(1) $a$を$p$の式で表しなさい．
(2) $b$を$p$の式で表しなさい．
(3) $x$軸と直線$\ell$および曲線$C$で囲まれた図形$D_1$の面積を$p$の式で表しなさい．
(4) $x$軸と$y$軸および直線$\ell$で囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積と$D_2$の面積が等しいとき，$p$の値を求めなさい．
(1) $a$を$p$の式で表しなさい．
(2) $b$を$p$の式で表しなさい．
(3) $x$軸と直線$\ell$および曲線$C$で囲まれた図形$D_1$の面積を$p$の式で表しなさい．
(4) $x$軸と$y$軸および直線$\ell$で囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積と$D_2$の面積が等しいとき，$p$の値を求めなさい．
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