滋賀県立大学
2015年 環境科学部・工学部 第4問
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次の問いに答えよ．
(1) 双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a$と$b$は正の実数）の$x>0$の部分を$H$とする．このとき，点$(-a,\ 0)$を通る傾き$t$の直線と$H$との交点を考えることにより，$H$上の点$(x,\ y)$の$x$と$y$をそれぞれ$t$の分数式で表せ．
(2) $(1)$のやり方を用いて，$y=\sqrt{x^2-1} \ \ (x>1)$で表される曲線を媒介変数$t$の分数式で表示せよ．
(3) $(2)$の結果を用いて不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \, dx$を求めよ．
(1) 双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a$と$b$は正の実数）の$x>0$の部分を$H$とする．このとき，点$(-a,\ 0)$を通る傾き$t$の直線と$H$との交点を考えることにより，$H$上の点$(x,\ y)$の$x$と$y$をそれぞれ$t$の分数式で表せ．
(2) $(1)$のやり方を用いて，$y=\sqrt{x^2-1} \ \ (x>1)$で表される曲線を媒介変数$t$の分数式で表示せよ．
(3) $(2)$の結果を用いて不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \, dx$を求めよ．
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