琉球大学
2014年 理系 第2問
2
![a,b,c,dはa+d=0,ad-bc=1をみたす実数とし,A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array}),E=(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array})とする.次の問いに答えよ.(1)A^2=-Eを示せ.(2)p,qは実数でp^2+q^2≠0をみたすとする.実数x,yに対して(pA+qE)(xA+yE)=Eが成り立つとき,x,yをp,qで表せ.(3)θを実数とする.すべての正の整数nに対して{(cosθ)E+(sinθ)A}^n=(cosnθ)E+(sinnθ)Aが成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.ここで,(sinθ)Aは行列Aのsinθ倍を表す.](./thumb/748/3103/2014_2.png)
2
$a,\ b,\ c,\ d$は$a+d=0$,$ad-bc=1$をみたす実数とし,$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$,$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする.次の問いに答えよ.
(1) $A^2=-E$を示せ.
(2) $p,\ q$は実数で$p^2+q^2 \neq 0$をみたすとする.実数$x,\ y$に対して$(pA+qE)(xA+yE)=E$が成り立つとき,$x,\ y$を$p,\ q$で表せ.
(3) $\theta$を実数とする.すべての正の整数$n$に対して \[ \{(\cos \theta)E+(\sin \theta)A \}^n=(\cos n\theta)E+(\sin n\theta)A \] が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.ここで,$(\sin \theta)A$は行列$A$の$\sin \theta$倍を表す.
(1) $A^2=-E$を示せ.
(2) $p,\ q$は実数で$p^2+q^2 \neq 0$をみたすとする.実数$x,\ y$に対して$(pA+qE)(xA+yE)=E$が成り立つとき,$x,\ y$を$p,\ q$で表せ.
(3) $\theta$を実数とする.すべての正の整数$n$に対して \[ \{(\cos \theta)E+(\sin \theta)A \}^n=(\cos n\theta)E+(\sin n\theta)A \] が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.ここで,$(\sin \theta)A$は行列$A$の$\sin \theta$倍を表す.
類題(関連度順)
![](./thumb/377/1604/2013_4s.png)
![](./thumb/413/2579/2012_4s.png)
![](./thumb/352/2294/2014_4s.png)
![](./thumb/366/2546/2014_3s.png)
![](./thumb/665/2850/2013_2s.png)
![](./thumb/562/2718/2012_3s.png)
![](./thumb/608/2732/2014_2s.png)
![](./thumb/678/3144/2011_2s.png)
![](./thumb/351/2519/2014_2s.png)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。