高知工科大学
2010年 理系 第4問
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![rとθを-1<r<1,0≦θ<2πを満たす定数とする.行列A=r(\begin{array}{rr}cosθ&-sinθ\\sinθ&cosθ\end{array}),E=(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array})に対して,次の各問に答えよ.(1)行列E-Aは逆行列を持つことを証明し,(E-A)^{-1}を求めよ.(2)全ての自然数nについてA^n=r^n(\begin{array}{rr}cosnθ&-sinnθ\\sinnθ&cosnθ\end{array})が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ.(3)nを2以上の自然数とする.(E+A+・・・+A^{n-1})(E-A)を簡単な式にせよ.(4)次の極限値を求めよ.①\lim_{n→∞}Σ_{k=0}^{n-1}r^kcoskθ②\lim_{n→∞}Σ_{k=0}^{n-1}r^ksinkθ](./thumb/676/222/2010_4.png)
4
$r$と$\theta$を$-1<r<1,\ 0 \leqq \theta < 2\pi$を満たす定数とする.行列$A=r \left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$,$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対して,次の各問に答えよ.
(1) 行列$E-A$は逆行列を持つことを証明し,$(E-A)^{-1}$を求めよ.
(2) 全ての自然数$n$について \[ A^n=r^n \left( \begin{array}{rr} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{array} \right) \] が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3) $n$を2以上の自然数とする.$(E+A+\cdots +A^{n-1})(E-A)$を簡単な式にせよ.
(4) 次の極限値を求めよ. \[ \maruichi \quad \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \cos k\theta \hfill \maruni \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \sin k\theta \hfill \]
(1) 行列$E-A$は逆行列を持つことを証明し,$(E-A)^{-1}$を求めよ.
(2) 全ての自然数$n$について \[ A^n=r^n \left( \begin{array}{rr} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{array} \right) \] が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3) $n$を2以上の自然数とする.$(E+A+\cdots +A^{n-1})(E-A)$を簡単な式にせよ.
(4) 次の極限値を求めよ. \[ \maruichi \quad \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \cos k\theta \hfill \maruni \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \sin k\theta \hfill \]
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