早稲田大学
2012年 基幹理工・創造理工・先進理工 第3問
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表が出る確率が$a \ (0<a<\displaystyle\frac{1}{2})$,裏が出る確率が$1-a$のコインを1枚投げる試行を$n$回行う.ただし$n \geqq 2$とする.この$n$回の試行の結果,表が$2$回以上出る事象を$A_n$で表す.また$1$回目から$n$回目の試行が終わるまでに,[裏→表]の順で出ない事象を$B_n$で表す.つぎの問に答えよ.
(1) 確率$P(A_n),\ P(B_n)$を求めよ.
(2) 確率$P(A_n \cap B_n)$を求めよ.
(3) 極限 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{P(A_n)P(B_n)}{P(A_n \cap B_n)} \] を求めよ.ただし,$0<r<1$をみたす$r$に対して,$\displaystyle\lim_{n \to \infty} nr^n = 0$となることを証明なしに用いてよい.
(1) 確率$P(A_n),\ P(B_n)$を求めよ.
(2) 確率$P(A_n \cap B_n)$を求めよ.
(3) 極限 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{P(A_n)P(B_n)}{P(A_n \cap B_n)} \] を求めよ.ただし,$0<r<1$をみたす$r$に対して,$\displaystyle\lim_{n \to \infty} nr^n = 0$となることを証明なしに用いてよい.
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