福岡教育大学
2014年 初等教育 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) $0 \leqq x \leqq \pi$,$0 \leqq y \leqq \pi$のとき,連立方程式 \[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \] を解け.
(2) $a,\ b,\ c$を実数とする.$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき,$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ.
(3) $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し,左から並べて自然数$n$を作るとき,次の$\tokeiichi$,$\tokeini$に答えよ.ただし,例えば$012$は$12$を表すものとする.
(ⅰ) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか.
(ⅱ) $3$桁の自然数$n$を作った後,箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき,$n+m=555$となる$n$は何通りか.
(1) $0 \leqq x \leqq \pi$,$0 \leqq y \leqq \pi$のとき,連立方程式 \[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \] を解け.
(2) $a,\ b,\ c$を実数とする.$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき,$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ.
(3) $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し,左から並べて自然数$n$を作るとき,次の$\tokeiichi$,$\tokeini$に答えよ.ただし,例えば$012$は$12$を表すものとする.
(ⅰ) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか.
(ⅱ) $3$桁の自然数$n$を作った後,箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき,$n+m=555$となる$n$は何通りか.
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