文字$x,\ y,\ z$の任意の整式$A$に対して，$x,\ y,\ z$をそれぞれ$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$に置き換えて得られる$\theta$の関数を$\widetilde{A}(\theta)$で表す．例えば， \[ \begin{array}{lll} P=x^5+z^4-xyz & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^5 \theta+\tan^4 \theta-\sin \theta \cos \theta \tan \theta, \\ P=x^2+y^2,\ Q=1 & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1=\widetilde{Q}(\theta) \end{array} \] である．ただし$\theta$の関数の定義域は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq 2\pi,\ \theta \neq \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$とする．
(1) $P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$y,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ．
(2) $P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\widetilde{P}(0)=\widetilde{P}(\pi)$ならば，$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ．
(3) $P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\displaystyle \theta \to \frac{\pi}{2}$のとき，および$\displaystyle \theta \to \frac{3\pi}{2}$のとき，$\widetilde{P}(\theta)$がそれぞれ収束するならば，$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ y$の整式$Q$が存在することを示せ．収束とは，一定の実数に限りなく近づくことである．