滋賀医科大学
2014年 医学部 第4問
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![関数f(x)は導関数f´(x)および第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもち，区間0≦x≦1において，f(x)＞0,{f´(x)}^2≦f(x)f^{\prime\prime}(x)≦2{f´(x)}^2を満たしている．f(0)=a，f(1)=bとするとき，次の不等式を示せ．(1)f(1/2)≦\frac{a+b}{2}(2)f(1/3)≦\sqrt[3]{a^2b}(3)f(1/4)≧\frac{4ab}{a+3b}(4)∫_0^1f(x)dx≦1/4a+1/2\sqrt{ab}+1/4b](./thumb/465/1258/2014_4.png)
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関数$f(x)$は導関数$f^\prime(x)$および第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもち，区間$0 \leqq x \leqq 1$において，
\[ f(x)>0,\quad \{f^\prime(x)\}^2 \leqq f(x)f^{\prime\prime}(x) \leqq 2 \{f^\prime(x)\}^2 \]
を満たしている．$f(0)=a$，$f(1)=b$とするとき，次の不等式を示せ．
(1) $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) \leqq \frac{a+b}{2}$
(2) $\displaystyle f \left( \frac{1}{3} \right) \leqq \sqrt[3]{a^2b}$
(3) $\displaystyle f \left( \frac{1}{4} \right) \geqq \frac{4ab}{a+3b}$
(4) $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{4}a+\frac{1}{2} \sqrt{ab}+\frac{1}{4}b$
(1) $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) \leqq \frac{a+b}{2}$
(2) $\displaystyle f \left( \frac{1}{3} \right) \leqq \sqrt[3]{a^2b}$
(3) $\displaystyle f \left( \frac{1}{4} \right) \geqq \frac{4ab}{a+3b}$
(4) $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{4}a+\frac{1}{2} \sqrt{ab}+\frac{1}{4}b$
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