$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}$，$\mathrm{OB}=\mathrm{CA}$，$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$は，ベクトル$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$を用いて$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{z}+\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$と表されている．
(1) $\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2) 内積$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{z}$，$\overrightarrow{z} \cdot \overrightarrow{x}$を求めよ．
(3) 点$\mathrm{P}$が$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から等距離にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらに長さ$\mathrm{OP}$を$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$を用いて表せ．
(4) 点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標がそれぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 2,\ 2)$，$(0,\ 3,\ 0)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標をすべて求めよ．