九州大学
2013年 理系 第1問
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![a>1とし,2つの曲線\begin{array}{lll}y=√x&&(x≧0),\\y=\frac{a^3}{x}&&(x>0)\end{array}を順にC_1,C_2とする.また,C_1とC_2の交点PにおけるC_1の接線をℓ_1とする.以下の問いに答えよ.(1)曲線C_1とy軸および直線ℓ_1で囲まれた部分の面積をaを用いて表せ.(2)点PにおけるC_2の接線と直線ℓ_1のなす角をθ(a)とする(0<θ(a)<π/2).このとき,\lim_{a→∞}asinθ(a)を求めよ.](./thumb/677/1102/2013_1.png)
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$a>1$とし,$2$つの曲線
\[ \begin{array}{lll}
y=\sqrt{x} & & (x \geqq 0), \\
\displaystyle y=\frac{a^3}{x} & & (x>0)
\end{array} \]
を順に$C_1,\ C_2$とする.また,$C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする.以下の問いに答えよ.
(1) 曲線$C_1$と$y$軸および直線$\ell_1$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と直線$\ell_1$のなす角を$\theta(a)$とする$\displaystyle \left( 0<\theta(a)<\frac{\pi}{2} \right)$.このとき,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}a \sin \theta(a)$を求めよ.
(1) 曲線$C_1$と$y$軸および直線$\ell_1$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と直線$\ell_1$のなす角を$\theta(a)$とする$\displaystyle \left( 0<\theta(a)<\frac{\pi}{2} \right)$.このとき,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}a \sin \theta(a)$を求めよ.
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