北里大学
2013年 医療衛生学部 第1問
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次の各文の$\fbox{}$にあてはまる答を求めよ.
(1) $\mathrm{AB}=4$,$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において,$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し,線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく.このとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\fbox{ア} \overrightarrow{b}+\fbox{イ} \overrightarrow{d}$と表せる.さらに,線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき,内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$\fbox{ウ}$であり,四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\fbox{エ}$である.
(2) $6$人の生徒$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$,$\mathrm{c}$,$\mathrm{d}$,$\mathrm{e}$,$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$に入れる.各部屋は$6$人まで入れることができる.このとき,空室があってもよいとして,$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$\fbox{オ}$通りある.また,各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$\fbox{カ}$通りあり,空室ができないような生徒の入れ方は全部で$\fbox{キ}$通りある.
(3) $x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める.このとき,$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$\fbox{ク}$である.また,$f(1)$の値は$f(1)=\fbox{ケ}$であり,$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=\fbox{コ}$である.
(4) 三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし,三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする.$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=3$,$\mathrm{AD}=4$のとき,$\cos \angle \mathrm{BAD}=\fbox{サ}$であり,$\mathrm{BD}=\fbox{シ}$,$\mathrm{CD}=\fbox{ス}$,$\mathrm{BC}=\fbox{セ}$である.
(1) $\mathrm{AB}=4$,$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において,$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し,線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく.このとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\fbox{ア} \overrightarrow{b}+\fbox{イ} \overrightarrow{d}$と表せる.さらに,線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき,内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$\fbox{ウ}$であり,四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\fbox{エ}$である.
(2) $6$人の生徒$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$,$\mathrm{c}$,$\mathrm{d}$,$\mathrm{e}$,$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$に入れる.各部屋は$6$人まで入れることができる.このとき,空室があってもよいとして,$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$\fbox{オ}$通りある.また,各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$\fbox{カ}$通りあり,空室ができないような生徒の入れ方は全部で$\fbox{キ}$通りある.
(3) $x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める.このとき,$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$\fbox{ク}$である.また,$f(1)$の値は$f(1)=\fbox{ケ}$であり,$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=\fbox{コ}$である.
(4) 三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし,三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする.$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=3$,$\mathrm{AD}=4$のとき,$\cos \angle \mathrm{BAD}=\fbox{サ}$であり,$\mathrm{BD}=\fbox{シ}$,$\mathrm{CD}=\fbox{ス}$,$\mathrm{BC}=\fbox{セ}$である.
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