高知工科大学
2010年 文系 第3問
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座標平面において,曲線$y=e^x$を$C$とし,点$(1,\ 0)$を$\mathrm{P}_1$,点$\mathrm{P}_1$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_1$とする.
点$\mathrm{Q}_1$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_2$,点$\mathrm{P}_2$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_2$とする.さらに,点$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_3$,点$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_3$とする.
以下同様の操作を繰り返し,$x$軸上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots$と曲線$C$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \mathrm{Q}_3,\ \cdots$を定める.
また,各自然数$n$について,曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$,$\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$として,数列 \[ S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_n,\ \cdots \] を定める.次の各問に答えよ.
(1) $S_1$を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ.
(3) 無限級数 \[ S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \] の和を求めよ.
点$\mathrm{Q}_1$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_2$,点$\mathrm{P}_2$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_2$とする.さらに,点$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_3$,点$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_3$とする.
以下同様の操作を繰り返し,$x$軸上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots$と曲線$C$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \mathrm{Q}_3,\ \cdots$を定める.
また,各自然数$n$について,曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$,$\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$として,数列 \[ S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_n,\ \cdots \] を定める.次の各問に答えよ.
(1) $S_1$を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ.
(3) 無限級数 \[ S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \] の和を求めよ.
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