座標平面において，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円に内接する正六角形のうち，点$\mathrm{A}_1(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考え，その頂点を$\mathrm{A}_1$から反時計回りに，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{C}_1$，$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{E}_1$，$\mathrm{F}_1$とする．同様に，$2$以上の自然数$n$に対して，$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円に内接する正六角形のうち，点$\mathrm{A}_n(n,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考え，その頂点を$\mathrm{A}_n$から反時計回りに，$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{C}_n$，$\mathrm{D}_n$，$\mathrm{E}_n$，$\mathrm{F}_n$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}_1}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ． \imgc{464_2631_2015_1}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{B}_3 \mathrm{C}_7}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2) $s,\ t$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{P}$が，正六角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{E}_n \mathrm{F}_n$の辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上にあるための必要十分条件を$s,\ t,\ n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数とし，頂点$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{F}_n$は辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点とする．
(3) 点$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_7$，$\mathrm{E}_2$と辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点$\mathrm{P}$がある平行四辺形の頂点となるような自然数$n$を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．