次のようなゲームを行い，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人の中から$1$人の勝者を決める．赤玉$3$個，白玉$5$個，黒玉$7$個が入った袋から$4$個の玉を同時に取り出し，最も多く取り出された玉が赤玉ならば$\mathrm{A}$，白玉ならば$\mathrm{B}$，黒玉ならば$\mathrm{C}$の勝ちとする．ただし，赤玉と白玉が$2$個ずつ，あるいは赤玉と黒玉が$2$個ずつ取り出されたときは$\mathrm{A}$の勝ち，白玉と黒玉が$2$個ずつ取り出されたときは$\mathrm{B}$の勝ちとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 取り出された$4$個の玉が，赤玉$1$個，白玉$1$個，黒玉$2$個である確率を求めよ．
(2) このゲームを$1$回行ったとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が勝つ確率$p_A$，$p_B$，$p_C$をそれぞれ求めよ．
(3) このゲームを$6$回繰り返し行ったとき，$\mathrm{A}$が$1$回，$\mathrm{B}$が$2$回，$\mathrm{C}$が$3$回勝つ確率を$p_A$，$p_B$，$p_C$を用いて表せ．