東京理科大学
2012年 理(数理情報科) 第2問
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$a$を実数とし,関数$f(x)=x^3+3ax^2+(3a^2-a)x$について考える.方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を$k$とする.$f(0)=0$であることに注意せよ.
(1) $k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ.
(2) $k=2$となるような$a$の値を求めよ.
(3) $k=3$となるような$a$の値の範囲を求めよ.
(4) $a$は$(3)$で求めた範囲にあるとする.方程式$f(x)=0$の$0$以外の実数解を$\alpha,\ \beta$とおく.ただし,$\alpha<\beta$とする.
(ⅰ) $\alpha<0$であることを示せ.
(ⅱ) $\alpha<\beta<0$であるような$a$の値の範囲を求めよ.
(ⅲ) $\alpha<0<\beta$であるような$a$の値の範囲を求めよ.
(5) 関数$f(x)$が極大値と極小値をもつような$a$の値の範囲を求めよ. $a$が$(5)$で求めた範囲にあるとき,関数$f(x)$の極小値を$m(a)$とおく.$a$が$(5)$で求めた範囲を動くときの$m(a)$の最大値と,最大値を与える$a$の値を求めよ.
(1) $k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ.
(2) $k=2$となるような$a$の値を求めよ.
(3) $k=3$となるような$a$の値の範囲を求めよ.
(4) $a$は$(3)$で求めた範囲にあるとする.方程式$f(x)=0$の$0$以外の実数解を$\alpha,\ \beta$とおく.ただし,$\alpha<\beta$とする.
(ⅰ) $\alpha<0$であることを示せ.
(ⅱ) $\alpha<\beta<0$であるような$a$の値の範囲を求めよ.
(ⅲ) $\alpha<0<\beta$であるような$a$の値の範囲を求めよ.
(5) 関数$f(x)$が極大値と極小値をもつような$a$の値の範囲を求めよ. $a$が$(5)$で求めた範囲にあるとき,関数$f(x)$の極小値を$m(a)$とおく.$a$が$(5)$で求めた範囲を動くときの$m(a)$の最大値と,最大値を与える$a$の値を求めよ.
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