青山学院大学
2016年 理工B方式 第2問
2
2
四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接しており,$4$辺の長さが
\[ \mathrm{AB}=2,\quad \mathrm{BC}=1,\quad \mathrm{CD}=\mathrm{DA}=\sqrt{6} \]
である.
(1) $\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくと,$\angle \mathrm{BCD}=\pi-\theta$であることから \[ \mathrm{BD}=\fbox{$10$} \sqrt{\fbox{$11$}},\quad \cos \theta=\frac{\sqrt{\fbox{$12$}}}{\fbox{$13$}\fbox{$14$}} \] となる.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=\fbox{$15$}$である.
(2) $\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}$が直径となる円周上の点とすると, \[ \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\fbox{$16$},\quad \overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\fbox{$17$} \] である.したがって, \[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{\fbox{$18$}}{\fbox{$19$}\fbox{$20$}} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{\fbox{$21$}\fbox{$22$}}{\fbox{$23$}\fbox{$24$}} \overrightarrow{\mathrm{BD}} \] である.
(1) $\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくと,$\angle \mathrm{BCD}=\pi-\theta$であることから \[ \mathrm{BD}=\fbox{$10$} \sqrt{\fbox{$11$}},\quad \cos \theta=\frac{\sqrt{\fbox{$12$}}}{\fbox{$13$}\fbox{$14$}} \] となる.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=\fbox{$15$}$である.
(2) $\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}$が直径となる円周上の点とすると, \[ \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\fbox{$16$},\quad \overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\fbox{$17$} \] である.したがって, \[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{\fbox{$18$}}{\fbox{$19$}\fbox{$20$}} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{\fbox{$21$}\fbox{$22$}}{\fbox{$23$}\fbox{$24$}} \overrightarrow{\mathrm{BD}} \] である.
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