東京理科大学
2012年 薬学部(生命創薬科) 第4問
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$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$,$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$,$\mathrm{D}(1,\ 1,\ -2)$について,次の各問いに答えよ.また,$0<m<1$とする.
(1) $\mathrm{AB}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{P}_m$とし,$\mathrm{OP}_m$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{Q}_m$とする.このとき,$\mathrm{Q}_{\frac{1}{5}}$の座標は,$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ラ}}{\fbox{リ}\fbox{ル}},\ \frac{\fbox{レ}}{\fbox{ロ}\fbox{ワ}},\ \fbox{ヲ} \right)$である.
(2) $\mathrm{OC}$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{R}_m$,$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}$とし,$\mathrm{R}_m \mathrm{M}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{S}_m$とすると,$\mathrm{S}_{\frac{1}{2}}$の座標は,$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ン}\fbox{あ}}{\fbox{い}\fbox{う}},\ \frac{\fbox{え}}{\fbox{お}\fbox{か}},\ \frac{\fbox{き}}{\fbox{く}} \right)$である.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{CQ}_m}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$について, \[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_m} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{1}{m+1}(-\fbox{け}m^2+\fbox{こ}m-\fbox{さ}) \] である.したがって,この$2$つのベクトルは垂直にはなりえない.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{CQ}_m}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるような$m$の値は,$\displaystyle m=\frac{\fbox{し}}{\fbox{す}}$である.
(5) $\displaystyle \frac{m+1}{m} \times \mathrm{Q}_m \mathrm{S}_m$が最小となるのは$\displaystyle m=\frac{\fbox{せ}\fbox{そ}}{\fbox{た}\fbox{ち}}$のときであり,その最小値は$\displaystyle \sqrt{\frac{\fbox{つ}\fbox{て}}{\fbox{と}\fbox{な}}}$である.
(1) $\mathrm{AB}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{P}_m$とし,$\mathrm{OP}_m$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{Q}_m$とする.このとき,$\mathrm{Q}_{\frac{1}{5}}$の座標は,$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ラ}}{\fbox{リ}\fbox{ル}},\ \frac{\fbox{レ}}{\fbox{ロ}\fbox{ワ}},\ \fbox{ヲ} \right)$である.
(2) $\mathrm{OC}$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{R}_m$,$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}$とし,$\mathrm{R}_m \mathrm{M}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{S}_m$とすると,$\mathrm{S}_{\frac{1}{2}}$の座標は,$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ン}\fbox{あ}}{\fbox{い}\fbox{う}},\ \frac{\fbox{え}}{\fbox{お}\fbox{か}},\ \frac{\fbox{き}}{\fbox{く}} \right)$である.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{CQ}_m}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$について, \[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_m} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{1}{m+1}(-\fbox{け}m^2+\fbox{こ}m-\fbox{さ}) \] である.したがって,この$2$つのベクトルは垂直にはなりえない.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{CQ}_m}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるような$m$の値は,$\displaystyle m=\frac{\fbox{し}}{\fbox{す}}$である.
(5) $\displaystyle \frac{m+1}{m} \times \mathrm{Q}_m \mathrm{S}_m$が最小となるのは$\displaystyle m=\frac{\fbox{せ}\fbox{そ}}{\fbox{た}\fbox{ち}}$のときであり,その最小値は$\displaystyle \sqrt{\frac{\fbox{つ}\fbox{て}}{\fbox{と}\fbox{な}}}$である.
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