宮城大学
2012年 文系 第3問
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次の空欄$\fbox{ハ}$から$\fbox{マ}$にあてはまる数や式を書きなさい.
$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において,$3$点 \[ \mathrm{A} \left( \frac{1}{a},\ 0,\ 0 \right),\quad \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{b},\ 0 \right),\quad \mathrm{C} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{c} \right) \] $(a,\ b,\ c>0)$をとる.平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとり,$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+u \overrightarrow{\mathrm{AC}}$($t,\ u$は定数)とおく.このとき, \[ \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\fbox{ハ},\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\fbox{ヒ} \] となる.
したがって,$\mathrm{OH}$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとすると,$\mathrm{H}$の座標は \[ \left( \fbox{フ},\ \fbox{ヘ},\ \fbox{ホ} \right) \] となる.また,このとき$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\fbox{マ}$となる.
$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において,$3$点 \[ \mathrm{A} \left( \frac{1}{a},\ 0,\ 0 \right),\quad \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{b},\ 0 \right),\quad \mathrm{C} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{c} \right) \] $(a,\ b,\ c>0)$をとる.平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとり,$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+u \overrightarrow{\mathrm{AC}}$($t,\ u$は定数)とおく.このとき, \[ \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\fbox{ハ},\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\fbox{ヒ} \] となる.
したがって,$\mathrm{OH}$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとすると,$\mathrm{H}$の座標は \[ \left( \fbox{フ},\ \fbox{ヘ},\ \fbox{ホ} \right) \] となる.また,このとき$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\fbox{マ}$となる.
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