北海道医療大学
2013年 薬学部・歯学部 第2問
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ある薬品$30 \mathrm{g}$を純水$70 \mathrm{g}$に溶かした溶液が入ったビーカー$\mathrm{A}$と純水$100 \mathrm{g}$が入ったビーカー$\mathrm{B}$がある.今,次のような手順を繰り返して行うとする.
[$\maruichi$] ビーカー$\mathrm{B}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に入れ,その後ビーカー$\mathrm{A}$の溶液をよくかき混ぜる. [$\maruni$] できあがったビーカー$\mathrm{A}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{B}$に戻し,その後ビーカー$\mathrm{B}$の溶液をよくかき混ぜる.
(1) この手順を$1$回行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_1$,ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_1$とする.$a_1,\ b_1$の値を求めよ.
(2) この手順を$n$回($n \geqq 2$)行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_n$,ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_n$とする.$a_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ.また,$b_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ.
(3) $c_n=a_n+b_n$と置くとき,$c_n$の値を求めよ.
(4) $d_n=a_n-b_n$と置くとき,$d_n$を$n$の式で表せ.
(5) ビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品とビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さの差が$0.1 \mathrm{g}$以下になるのは,この手順を何回繰り返した後か. $a_n,\ b_n$を$n$の式で表せ.
[$\maruichi$] ビーカー$\mathrm{B}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に入れ,その後ビーカー$\mathrm{A}$の溶液をよくかき混ぜる. [$\maruni$] できあがったビーカー$\mathrm{A}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{B}$に戻し,その後ビーカー$\mathrm{B}$の溶液をよくかき混ぜる.
(1) この手順を$1$回行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_1$,ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_1$とする.$a_1,\ b_1$の値を求めよ.
(2) この手順を$n$回($n \geqq 2$)行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_n$,ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_n$とする.$a_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ.また,$b_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ.
(3) $c_n=a_n+b_n$と置くとき,$c_n$の値を求めよ.
(4) $d_n=a_n-b_n$と置くとき,$d_n$を$n$の式で表せ.
(5) ビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品とビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さの差が$0.1 \mathrm{g}$以下になるのは,この手順を何回繰り返した後か. $a_n,\ b_n$を$n$の式で表せ.
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