$a>0$とする．関数$f(x)$を \[ f(x)=(x-1)(x^2-2x-3ax+2a+2a^2) \] とし，$y=f(x)$で表される曲線を$C$とする．$C$は$x$軸と$3$つの異なる交点を持ち，その中の$1$つを点$\mathrm{P}(1,\ 0)$とし，残り$2$つを$x$座標の小さい方から点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間にあるとき，以下の問に答えよ．
(1) 点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2) $a$の範囲を求めよ．また，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3) 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る放物線$D$を$y=g(x)$とする．$D$の点$\mathrm{P}$における接線が$(1)$で求めた$\ell$と一致するとき，$g(x)$を$a$を用いて表せ．さらに，定積分 \[ I=\int_0^1 g(x) \, dx \] の値を$a$を用いて表せ．