鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下した垂線の足を$\mathrm{D}$，$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下した垂線の足を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{F}$とし，$\mathrm{BF}$の延長と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．このとき以下の問に答えよ．
(1) 四角形$\mathrm{BDFE}$は円に内接することを証明せよ．
(2) 四角形$\mathrm{AEDC}$は円に内接することを証明せよ．
(3) 三角形$\mathrm{ABG}$と三角形$\mathrm{ACE}$は相似であることを証明せよ．
(4) 四角形$\mathrm{AEFG}$は円に内接することを証明せよ．