東北医科薬科大学
2014年 薬学部 第3問
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三角形$\mathrm{OAB}$において線分$\mathrm{OA}$を$2:5$に内分する点を$\mathrm{C}$,線分$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とおく.このとき,次の問に答えなさい.
(1) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である.
(2) 線分$\mathrm{CD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とおくと$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キク}} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である.
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$は$3$辺の長さの比が$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}:\mathrm{AB}=5:4:7$で,外接円の半径が$\displaystyle \frac{35 \sqrt{6}}{12}$とする.このとき$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{\fbox{サシ}}{\fbox{ス}}$であり,また三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\fbox{セソ} \sqrt{\fbox{タ}}$である.
(4) $\alpha,\ \beta$は実数で,点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす点とする.$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{Q}$が同一直線上にあり,$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$が平行である.ただし点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{C}$と異なるとするとき$\displaystyle \alpha=\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}$,$\displaystyle \beta=\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}$である.
(1) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である.
(2) 線分$\mathrm{CD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とおくと$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キク}} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である.
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$は$3$辺の長さの比が$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}:\mathrm{AB}=5:4:7$で,外接円の半径が$\displaystyle \frac{35 \sqrt{6}}{12}$とする.このとき$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{\fbox{サシ}}{\fbox{ス}}$であり,また三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\fbox{セソ} \sqrt{\fbox{タ}}$である.
(4) $\alpha,\ \beta$は実数で,点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす点とする.$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{Q}$が同一直線上にあり,$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$が平行である.ただし点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{C}$と異なるとするとき$\displaystyle \alpha=\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}$,$\displaystyle \beta=\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}$である.
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