島根大学
2011年 医学部 第3問
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$U=\{k \; | \; k\text{は自然数,}\ 1 \leqq k \leqq 25 \}$を全体集合とし,$U$の部分集合$A,\ B$を次のように定める.
\[ A=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は3の倍数} \},\quad B=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は4の倍数} \} \]
このとき,次の問いに答えよ.
(1) 2つの集合$A \cap B,\ A \cup B$を,要素を書き並べる方法で表せ.
(2) $m$と$n$を自然数とし,2次方程式 \[ (\ast) \quad x^2-mx+n=0 \] が整数解をもつとする.このとき,$n$が素数ならば,2次方程式$(\ast)$は1を解としてもつことを証明せよ.
(3) $m,\ n$を集合$\overline{A} \cap \overline{B}$の要素とする.このとき,2次方程式$(\ast)$の解がすべて2以上の整数となる$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ.ただし,$\overline{A}$と$\overline{B}$は,それぞれ$A$と$B$の補集合を表す.
(1) 2つの集合$A \cap B,\ A \cup B$を,要素を書き並べる方法で表せ.
(2) $m$と$n$を自然数とし,2次方程式 \[ (\ast) \quad x^2-mx+n=0 \] が整数解をもつとする.このとき,$n$が素数ならば,2次方程式$(\ast)$は1を解としてもつことを証明せよ.
(3) $m,\ n$を集合$\overline{A} \cap \overline{B}$の要素とする.このとき,2次方程式$(\ast)$の解がすべて2以上の整数となる$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ.ただし,$\overline{A}$と$\overline{B}$は,それぞれ$A$と$B$の補集合を表す.
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