名古屋工業大学
2015年 工学部 第3問
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次の$\tocichi$,$\tocni$に答えよ.
[$\tocichi$] 次の$5$つの定積分を求めよ.($\tocni \ (4)$で用いる.)
$\displaystyle I_1=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad I_2=\int_0^\pi x^2 \cos x \, dx,\quad I_3=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$
$\displaystyle I_4=\int_0^\pi x \cos x \sin x \, dx,\quad I_5=\int_0^\pi \sin^2 x \cos x \, dx$
[$\tocni$] 関数$y=\sin x$のグラフを曲線$C$とする.$C$上の点$\mathrm{O}(0,\ 0)$における接線を$\ell_1$,点$\mathrm{A}(\pi,\ 0)$における接線を$\ell_2$とする.
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{B}$,$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sin t) \ \ (0 \leqq t \leqq \pi)$から$\ell_1$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする.ただし,$t=0$のときは$\mathrm{Q}=\mathrm{P}$とする.$\mathrm{OQ}=s$とおく.
[$(1)$] $\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ. [$(2)$] $s$を$t$を用いて表せ. [$(3)$] 線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ. [$(4)$] 曲線$C$と$2$直線$\ell_1$,$\ell_2$で囲まれた部分を,直線$\ell_1$の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
[$\tocichi$] 次の$5$つの定積分を求めよ.($\tocni \ (4)$で用いる.)
$\displaystyle I_1=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad I_2=\int_0^\pi x^2 \cos x \, dx,\quad I_3=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$
$\displaystyle I_4=\int_0^\pi x \cos x \sin x \, dx,\quad I_5=\int_0^\pi \sin^2 x \cos x \, dx$
[$\tocni$] 関数$y=\sin x$のグラフを曲線$C$とする.$C$上の点$\mathrm{O}(0,\ 0)$における接線を$\ell_1$,点$\mathrm{A}(\pi,\ 0)$における接線を$\ell_2$とする.
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{B}$,$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sin t) \ \ (0 \leqq t \leqq \pi)$から$\ell_1$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする.ただし,$t=0$のときは$\mathrm{Q}=\mathrm{P}$とする.$\mathrm{OQ}=s$とおく.
[$(1)$] $\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ. [$(2)$] $s$を$t$を用いて表せ. [$(3)$] 線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ. [$(4)$] 曲線$C$と$2$直線$\ell_1$,$\ell_2$で囲まれた部分を,直線$\ell_1$の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
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