聖マリアンナ医科大学
2015年 医学部 第2問
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$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}_1(1,\ 1)$,$\mathrm{P}_2(1,\ 2)$があり,以下の条件$\tokeiichi$,$\tokeini$,$\tokeisan$をすべて満たすように$\mathrm{P}_3(x_3,\ y_3)$,$\mathrm{P}_4(x_4,\ y_4)$,$\mathrm{P}_5(x_5,\ y_5)$,$\cdots$を定めるものとする.
$\tokeiichi$ \ \ $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n}|=\frac{1}{3} |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1}}| \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$\tokeini$ \ \ $\displaystyle \angle \mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{\pi}{4} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$\tokeisan$ \ \ $x_n \geqq x_{n-1} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4}$を成分で表しなさい.
(2) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k-1} \mathrm{P}_{2k}} \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい.
(3) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k} \mathrm{P}_{2k+1}} \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=X$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=Y$とおく.このとき$n$を限りなく大きくすると,点$\mathrm{P}_n$は点$\mathrm{P}(X,\ Y)$に限りなく近づいていく.$X,\ Y$を求めなさい.
$\tokeiichi$ \ \ $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n}|=\frac{1}{3} |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1}}| \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$\tokeini$ \ \ $\displaystyle \angle \mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{\pi}{4} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$\tokeisan$ \ \ $x_n \geqq x_{n-1} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4}$を成分で表しなさい.
(2) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k-1} \mathrm{P}_{2k}} \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい.
(3) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k} \mathrm{P}_{2k+1}} \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=X$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=Y$とおく.このとき$n$を限りなく大きくすると,点$\mathrm{P}_n$は点$\mathrm{P}(X,\ Y)$に限りなく近づいていく.$X,\ Y$を求めなさい.
コメント(1件)
2016-01-09 17:35:49
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