東京理科大学
2012年 工(建築・電気工) 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) $a,\ b,\ c$を整数とするとき,以下の問いに答えなさい.
(ⅰ) $a+b+c=10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{ア}\fbox{イ}$である.
(ⅱ) $a+b+c \leqq 10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{ウ}\fbox{エ}\fbox{オ}$である.
(ⅲ) $a+b+c \leqq 10,\ 7 \geqq a \geqq 1,\ 7 \geqq b \geqq 1,\ 7 \geqq c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{カ}\fbox{キ}\fbox{ク}$である.
(2) $\angle \mathrm{B}=2 \angle \mathrm{A}$を満たす$\triangle \mathrm{ABC}$について,以下の問いに答えなさい.
(ⅰ) 式$\displaystyle \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}$がとりうる値の範囲は \[ \fbox{ア}<\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}<\fbox{イ} \] である.
(ⅱ) $\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=3$のとき, \[ \cos A=\frac{\fbox{ウ}+\sqrt{\fbox{エ}\fbox{オ}}}{\fbox{カ}} \] であり, \[ \mathrm{BC}=-\fbox{キ}+\sqrt{\fbox{ク}\fbox{ケ}} \] である.
(3) 座標平面上に,点$\mathrm{A}(0,\ 2)$,$\mathrm{B}(4,\ 0)$および放物線$C:y=-x^2+mx+1$(ただし,$m$は実数の定数)がある.$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2)$,$\mathrm{B}(4,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする.
(ⅰ) 放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつのは, \[ m<-\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\quad m>\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \] のときである.
以下,放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつ場合について考え,この$2$個の共有点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$のすくなくとも一方が線分$\mathrm{AB}$(端点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を含む)上にあるのは \[ m>\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \] のときである.
(ⅲ) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がともに,線分$\mathrm{AB}$(端点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を含む)上にあるのは \[ \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}<m \leqq \frac{\fbox{ケ}\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \] のときである.また,$m$がこの範囲内で動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さは,
$\displaystyle m=\frac{\fbox{シ}\fbox{ス}}{\fbox{セ}}$で最大値$\displaystyle \frac{\fbox{ソ}\fbox{タ}}{\fbox{チ}} \times \sqrt{\fbox{ツ}}$をとる.
(1) $a,\ b,\ c$を整数とするとき,以下の問いに答えなさい.
(ⅰ) $a+b+c=10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{ア}\fbox{イ}$である.
(ⅱ) $a+b+c \leqq 10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{ウ}\fbox{エ}\fbox{オ}$である.
(ⅲ) $a+b+c \leqq 10,\ 7 \geqq a \geqq 1,\ 7 \geqq b \geqq 1,\ 7 \geqq c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{カ}\fbox{キ}\fbox{ク}$である.
(2) $\angle \mathrm{B}=2 \angle \mathrm{A}$を満たす$\triangle \mathrm{ABC}$について,以下の問いに答えなさい.
(ⅰ) 式$\displaystyle \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}$がとりうる値の範囲は \[ \fbox{ア}<\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}<\fbox{イ} \] である.
(ⅱ) $\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=3$のとき, \[ \cos A=\frac{\fbox{ウ}+\sqrt{\fbox{エ}\fbox{オ}}}{\fbox{カ}} \] であり, \[ \mathrm{BC}=-\fbox{キ}+\sqrt{\fbox{ク}\fbox{ケ}} \] である.
(3) 座標平面上に,点$\mathrm{A}(0,\ 2)$,$\mathrm{B}(4,\ 0)$および放物線$C:y=-x^2+mx+1$(ただし,$m$は実数の定数)がある.$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2)$,$\mathrm{B}(4,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする.
(ⅰ) 放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつのは, \[ m<-\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\quad m>\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \] のときである.
以下,放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつ場合について考え,この$2$個の共有点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$のすくなくとも一方が線分$\mathrm{AB}$(端点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を含む)上にあるのは \[ m>\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \] のときである.
(ⅲ) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がともに,線分$\mathrm{AB}$(端点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を含む)上にあるのは \[ \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}<m \leqq \frac{\fbox{ケ}\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \] のときである.また,$m$がこの範囲内で動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さは,
$\displaystyle m=\frac{\fbox{シ}\fbox{ス}}{\fbox{セ}}$で最大値$\displaystyle \frac{\fbox{ソ}\fbox{タ}}{\fbox{チ}} \times \sqrt{\fbox{ツ}}$をとる.
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