京都教育大学
2011年 教育学部 第6問
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$-1 \leqq a \leqq 1$として,次の問に答えよ.
(1) 直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$が,ただ1つの点を共有することを示せ.
(2) 方程式$\sin x=a$は閉区間$\displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$の範囲でただ1つの実数解をもつことを示せ.
(3) $-1 \leqq x \leqq 1$とする.次の条件 \[ x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \] をみたす$y$を$g(x)$とおく.曲線$y=g(x) \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の概形をかけ.
(4) 曲線$y=g(x)$と2直線$\displaystyle x=\frac{1}{2},\ y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ.ただし,$g(x)$は(3)で定義されたものとする.
(1) 直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$が,ただ1つの点を共有することを示せ.
(2) 方程式$\sin x=a$は閉区間$\displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$の範囲でただ1つの実数解をもつことを示せ.
(3) $-1 \leqq x \leqq 1$とする.次の条件 \[ x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \] をみたす$y$を$g(x)$とおく.曲線$y=g(x) \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の概形をかけ.
(4) 曲線$y=g(x)$と2直線$\displaystyle x=\frac{1}{2},\ y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ.ただし,$g(x)$は(3)で定義されたものとする.
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