座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさを$d$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{e_3}=(0,\ 0,\ 1)$のなす角を$\alpha$とする．そして，点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{e_1}=(1,\ 0,\ 0)$のなす角を$\beta$とする．ただし，$d \geqq 0$，$0 \leqq \alpha \leqq \pi$，$0 \leqq \beta \leqq 2\pi$であるとし，$\mathrm{P}$が$z$軸上にあるとき$\beta=0$であるものとする．
(1) $x,\ y,\ z$を$d,\ \alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2) $d=3$を固定し，$\alpha$が$0$から$\pi$，$\beta$が$0$から$2\pi$まで変化したときに点$\mathrm{P}$が描く図形は何か．また，その面積を求めよ．
(3) $\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$を固定し，$d$が$0$から$4$，$\beta$が$0$から$2\pi$まで変化したときに点$\mathrm{P}$が描く図形は何か．また，その面積を求めよ．