円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする（$a>b$，$b<c$）．下図のように，円周上に$\mathrm{D}$を，$\angle \mathrm{DBA}=\angle \mathrm{ABC}$となるようにとり，$\mathrm{BD}$を延長した直線と$\mathrm{CA}$を延長した直線が交わる点を$\mathrm{P}$とする．$a,\ b,\ c$を用いた式で空欄$\fbox{ア}$～$\fbox{コ}$を埋めよ．
$\mathrm{DP}$上に点$\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{DQA}=\angle \mathrm{BAC}$となるようにとる．四角形$\mathrm{ADBC}$は円に内接しているので，$\angle \mathrm{BDA}$と$\angle \mathrm{BCA}$の和は${180}^\circ$であるから，$\angle \mathrm{QDA}=\angle \mathrm{BCA}$であり，$\triangle \mathrm{QAD}$と$\triangle \mathrm{ABC}$は相似である．また，$\mathrm{AD}=\fbox{ア}$だから，$\mathrm{QD}=\fbox{イ}$である．
$\angle \mathrm{BQA}=\angle \mathrm{BAC}$，$\angle \mathrm{QBA}=\angle \mathrm{ABC}$であるから，$\triangle \mathrm{QBA}$と$\triangle \mathrm{ABC}$は相似であり，よって$\mathrm{QB}=\fbox{ウ}$となり，$\mathrm{BD}=\mathrm{QB}-\mathrm{QD}$だから，$\mathrm{BD}=\fbox{エ}$となる．
また，$\angle \mathrm{QDA}=\angle \mathrm{BCA}$であり，$\angle \mathrm{P}$は共通より，$\triangle \mathrm{PAD}$と$\triangle \mathrm{PBC}$は相似であるから，$\mathrm{DP}:\mathrm{CP}=\fbox{オ}:\fbox{カ}$となる．$\mathrm{CP}=\mathrm{AP}+\fbox{キ}$より，$\mathrm{DP}=\fbox{ク} \mathrm{AP}+\fbox{ケ}$となる．方べきの定理より，$\mathrm{DP} \cdot \mathrm{BP}=\mathrm{AP} \cdot \mathrm{CP}$であり，これを$\mathrm{AP}$について解くと$\mathrm{AP}=\fbox{コ}$となる． \imgc{224_2290_2013_1}