あるイベントが，金曜日，土曜日，日曜日に，$1$日$1$回ずつ計$3$回開催される．参加するためには，当日に会場でチケット抽せん申し込みをして，その場で当せんする必要がある．また，一度当せんしたら，それ以降の開催日の抽せんには申し込みできない．当せん確率は，金曜日は$\displaystyle \frac{1}{3}$，土曜日は$\displaystyle \frac{1}{5}$，日曜日は$\displaystyle \frac{1}{7}$である．
$\mathrm{A}$は金曜日から抽せんに申し込み，金曜日にはずれたら必ず土曜日に，土曜日にはずれたら日曜日にも抽せん申し込みをする．
$\mathrm{B}$は土曜日から抽せんに申し込み，はずれたら必ず日曜日にも抽せん申し込みをする．
(1) $\mathrm{A}$がいずれかの日にイベントに参加できる確率を求めよ．
(2) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同日にイベントに参加できる確率を求めよ．
(3) 各日のチケットの金額は，金曜日は$3000$円，土曜日は$5000$円，日曜日は$7000$円である．$\mathrm{A}$が支払う金額の期待値を求めよ．