あるゲームでは，確率$p$で表が出るコインを$3$回投げる．表が$3$回出れば$15$円，ちょうど$2$回出れば$3$円，$1$回だけ出れば$1$円，$1$回も出なければ$6$円それぞれ支払わなければならない．
(1) 支払額の期待値を$p$の関数として表せ．
(2) 支払額の期待値を最小にするような$p$の値とそのときの期待値を求めよ．