東京都市大学
2014年 メディア情報,都市生活 第1問
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次の$\fbox{}$を埋めよ.ただし,解答用紙には計算過程も示せ.
(1) $a,\ b$を定数とする.等式$\displaystyle \frac{3x-2}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように$a,\ b$の値を定めると,$a=\fbox{ア}$,$b=\fbox{イ}$となる.
(2) さいころを$2$回投げ,各回に出た目をそれぞれ$a,\ b$とするとき,$\displaystyle \frac{a+bi}{1+3i}$が実数になる確率は$\fbox{ウ}$である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(3) $a$を$a \geqq 0$を満たす定数とする.$2$次関数$y=3(x-a)^2+a^2-3a-4 \ \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の最大値を$a$の式で表すと$\fbox{エ}$となる.また,最小値を$a$の式で表すと,$0 \leqq a<1$のとき$\fbox{オ}$,$a \geqq 1$のとき$\fbox{カ}$となる.
(4) 直方体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において,辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AE}$を$5:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{BF}$を$7:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とすると,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$はそれぞれ$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{キ}$,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\fbox{ク}$と表される.点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る平面と辺$\mathrm{EG}$,辺$\mathrm{FG}$との交点をそれぞれ$\mathrm{S}$,$\mathrm{T}$とすると,$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$はそれぞれ$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\fbox{ケ}$,$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=\fbox{コ}$と表される.したがって,点$\mathrm{S}$は辺$\mathrm{EG}$を$1:\fbox{サ}$に内分し,点$\mathrm{T}$は辺$\mathrm{FG}$を$1:\fbox{シ}$に内分する.
(5) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$の一般項がそれぞれ$\displaystyle a_n=\sin \frac{n\pi}{6}$,$\displaystyle b_n=\cos \frac{n\pi}{6}$,$\displaystyle c_n=\sin \frac{n\pi}{6}+\cos \frac{n\pi}{6} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で表されるとき,$a_{37}+a_{43}=\fbox{ス}$,$b_{191}=\fbox{セ}$,$c_{436}+c_{439}=\fbox{ソ}$である. 方程式$4^x-2^{x+\frac{1}{2}}=4$がある.$a=2^x \ \ (a>0)$とすると,この方程式は$x$を使わずに$a$を用いて$\fbox{タ}$と表すことができる.したがって,この方程式の解は$x=\fbox{チ}$である. $f(x)=x^3-3x+2$,$g(x)=2x^2-4x+2$,$h(x)=3x^2-6x+3$とし,関数$f(x),\ g(x),\ h(x)$の導関数をそれぞれ$f^\prime(x),\ g^\prime(x),\ h^\prime(x)$とする.$f(x)>g(x)$が成り立つ$x$の範囲は$\fbox{ツ}$であり,$f(x)>h(x)$が成り立つ$x$の範囲は$\fbox{テ}$である.また,$f^\prime(x)>g^\prime(x)$が成り立つ$x$の範囲は$\fbox{ト}$であり,$f^\prime(x)>h^\prime(x)$が成り立つための条件は$\fbox{ナ}$である. $1$から$9$までの番号をつけた$9$枚のカードから,同時に$2$枚を取り出すとき,取り出したカードの番号が$1$と$2$である確率は$\fbox{ニ}$であり,連続した$2$つの数字である確率は$\fbox{ヌ}$である.また,同時に$3$枚を取り出し,番号の小さい順に並べたとき,その番号が連続した$3$つの数字である確率は$\fbox{ネ}$であり,$3$つの番号の積が$24$である確率は$\fbox{ノ}$である.
(1) $a,\ b$を定数とする.等式$\displaystyle \frac{3x-2}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように$a,\ b$の値を定めると,$a=\fbox{ア}$,$b=\fbox{イ}$となる.
(2) さいころを$2$回投げ,各回に出た目をそれぞれ$a,\ b$とするとき,$\displaystyle \frac{a+bi}{1+3i}$が実数になる確率は$\fbox{ウ}$である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(3) $a$を$a \geqq 0$を満たす定数とする.$2$次関数$y=3(x-a)^2+a^2-3a-4 \ \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の最大値を$a$の式で表すと$\fbox{エ}$となる.また,最小値を$a$の式で表すと,$0 \leqq a<1$のとき$\fbox{オ}$,$a \geqq 1$のとき$\fbox{カ}$となる.
(4) 直方体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において,辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AE}$を$5:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{BF}$を$7:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とすると,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$はそれぞれ$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{キ}$,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\fbox{ク}$と表される.点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る平面と辺$\mathrm{EG}$,辺$\mathrm{FG}$との交点をそれぞれ$\mathrm{S}$,$\mathrm{T}$とすると,$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$はそれぞれ$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\fbox{ケ}$,$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=\fbox{コ}$と表される.したがって,点$\mathrm{S}$は辺$\mathrm{EG}$を$1:\fbox{サ}$に内分し,点$\mathrm{T}$は辺$\mathrm{FG}$を$1:\fbox{シ}$に内分する.
(5) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$の一般項がそれぞれ$\displaystyle a_n=\sin \frac{n\pi}{6}$,$\displaystyle b_n=\cos \frac{n\pi}{6}$,$\displaystyle c_n=\sin \frac{n\pi}{6}+\cos \frac{n\pi}{6} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で表されるとき,$a_{37}+a_{43}=\fbox{ス}$,$b_{191}=\fbox{セ}$,$c_{436}+c_{439}=\fbox{ソ}$である. 方程式$4^x-2^{x+\frac{1}{2}}=4$がある.$a=2^x \ \ (a>0)$とすると,この方程式は$x$を使わずに$a$を用いて$\fbox{タ}$と表すことができる.したがって,この方程式の解は$x=\fbox{チ}$である. $f(x)=x^3-3x+2$,$g(x)=2x^2-4x+2$,$h(x)=3x^2-6x+3$とし,関数$f(x),\ g(x),\ h(x)$の導関数をそれぞれ$f^\prime(x),\ g^\prime(x),\ h^\prime(x)$とする.$f(x)>g(x)$が成り立つ$x$の範囲は$\fbox{ツ}$であり,$f(x)>h(x)$が成り立つ$x$の範囲は$\fbox{テ}$である.また,$f^\prime(x)>g^\prime(x)$が成り立つ$x$の範囲は$\fbox{ト}$であり,$f^\prime(x)>h^\prime(x)$が成り立つための条件は$\fbox{ナ}$である. $1$から$9$までの番号をつけた$9$枚のカードから,同時に$2$枚を取り出すとき,取り出したカードの番号が$1$と$2$である確率は$\fbox{ニ}$であり,連続した$2$つの数字である確率は$\fbox{ヌ}$である.また,同時に$3$枚を取り出し,番号の小さい順に並べたとき,その番号が連続した$3$つの数字である確率は$\fbox{ネ}$であり,$3$つの番号の積が$24$である確率は$\fbox{ノ}$である.
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