島根大学
2010年 総合理工(数理・情報システム) 第2問
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![自然数nに対して,ベクトルベクトルa,ベクトルbをベクトルa=(n^{1/4},n^{1/4}+1),ベクトルb=(n^{1/4},1-n^{1/4})で定めるとき,次の問いに答えよ.(1)ベクトルaとベクトルbのなす角をθとするとき,cosθをnを用いて表せ.(2)\frac{1}{cosθ}が整数となるようなnを小さい順にn_1,n_2,・・・とするとき,i番目のn_iをiを用いて表せ.(3)n=n_iに対するベクトルaとベクトルbのなす角をθ_iとおく.自然数kに対して,S_k=\frac{1}{tan^2θ_1}+\frac{1}{tan^2θ_2}+・・・+\frac{1}{tan^2θ_k}とするとき,\lim_{k→∞}S_kを求めよ.](./thumb/610/2756/2010_2.png)
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自然数$n$に対して,ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき,次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$を$n$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき,$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ.
(3) $n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく.自然数$k$に対して, \[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \] とするとき,$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ.
(1) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$を$n$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき,$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ.
(3) $n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく.自然数$k$に対して, \[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \] とするとき,$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ.
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