$a$を$0<a<1$とする．座標空間の$4$点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{a},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{1-a} \right)$とする．また，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする四面体に内接する球を$S$とする．
(1) $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に直交し長さが$1$のベクトルを$a$を用いて表せ．
(2) $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と球$S$の接点の座標を$a$を用いて表せ．
(3) 球$S$の半径を$a$を用いて表せ．
(4) 球$S$の体積の最大値を求めよ．