三角形$\mathrm{ABC}$に内接する半径$R$の円がある．内接円と辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$との接点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また$\alpha=\angle \mathrm{A}$，$\beta=\angle \mathrm{B}$，$\gamma=\angle \mathrm{C}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする．
(1) $S_1$を$\displaystyle R,\ \tan \frac{\alpha}{2},\ \tan \frac{\beta}{2},\ \tan \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．
(2) $S_2$を$\displaystyle R,\ \cos \frac{\alpha}{2},\ \cos \frac{\beta}{2},\ \cos \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．
以後$\displaystyle \gamma=\frac{\pi}{2}$とする．
(3) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を用いて表せ．
(4) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最大値を求めよ．