曲線$7x^2+2 \sqrt{3}xy+9y^2=30$上の点$(x,\ y)$に対して，変換 \[ \left\{ \begin{array}{l} X=x \cos \theta-y \sin \theta \\ Y=x \sin \theta+y \cos \theta \phantom{\displaystyle\frac{\fbox{}}{2}} \end{array} \right. \] を考える（ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする）．このとき$X,\ Y$のみたす式は \[ a(\theta)X^2+b(\theta)XY+c(\theta)Y^2=30 \] となる．ただし，$a(\theta)$，$b(\theta)$，$c(\theta)$は$\theta$のみにより決まる定数である．いま，$b(\theta)=0$をみたす$\theta$を$\theta_1$とする．
(1) $\theta_1$を求めよ．
(2) $a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3) $a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ．