札幌医科大学
2015年 医学部 第4問
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![次の問いに答えよ.(1)次の不定積分を求めよ.\mon[①]∫tsintdt\mon[②]∫t^2costdt座標平面の原点をOとする.点A(0,1)を中心とし半径1の円C上のx≧0の範囲にある点P(x_p,y_p)に対して,線分OPとx軸の正の部分とのなす角をθ(0≦θ≦π/2)とする.また,PにおけるCの接線上に点Q(x_q,y_q)を次の条件をみたすようにとる.\begin{itemize}y_q≦y_p線分PQの長さは,C上の弧OP(ただし弧全体がx≧0に存在する方)の長さに等しいPの座標が(0,2)のときはx_q=πとなるようにQをとるPがOと一致する場合はQもOとし,θ=0とする\end{itemize}(2)Pの座標をθを用いて表せ.(3)Qの座標をθを用いて表せ.(4)Pが0≦θ≦π/2の範囲を動くとき,y_qの最大値と最小値を求めよ.(5)Pが0≦θ≦π/2の範囲を動くとき,Qの描く曲線とy軸および直線y=2で囲まれる部分の面積を求めよ.](./thumb/10/2251/2015_4.png)
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次の問いに答えよ.
(1) 次の不定積分を求めよ.
[$\maruichi$] $\displaystyle \int t \sin t \, dt$ [$\maruni$] $\displaystyle \int t^2 \cos t \, dt$
座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする.点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とし半径$1$の円$C$上の$x \geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{P}(x_p,\ y_p)$に対して,線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の部分とのなす角を$\displaystyle \theta \ \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする.また,$\mathrm{P}$における$C$の接線上に点$\mathrm{Q}(x_q,\ y_q)$を次の条件をみたすようにとる. \begin{itemize}
$y_q \leqq y_p$
線分$\mathrm{PQ}$の長さは,$C$上の弧$\mathrm{OP}$(ただし弧全体が$x \geqq 0$に存在する方)の長さに等しい
$\mathrm{P}$の座標が$(0,\ 2)$のときは$x_q=\pi$となるように$\mathrm{Q}$をとる
$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$と一致する場合は$\mathrm{Q}$も$\mathrm{O}$とし,$\theta=0$とする \end{itemize}
(2) $\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(4) $\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,$y_q$の最大値と最小値を求めよ.
(5) $\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,$\mathrm{Q}$の描く曲線と$y$軸および直線$y=2$で囲まれる部分の面積を求めよ.
(1) 次の不定積分を求めよ.
[$\maruichi$] $\displaystyle \int t \sin t \, dt$ [$\maruni$] $\displaystyle \int t^2 \cos t \, dt$
座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする.点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とし半径$1$の円$C$上の$x \geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{P}(x_p,\ y_p)$に対して,線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の部分とのなす角を$\displaystyle \theta \ \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする.また,$\mathrm{P}$における$C$の接線上に点$\mathrm{Q}(x_q,\ y_q)$を次の条件をみたすようにとる. \begin{itemize}
$y_q \leqq y_p$
線分$\mathrm{PQ}$の長さは,$C$上の弧$\mathrm{OP}$(ただし弧全体が$x \geqq 0$に存在する方)の長さに等しい
$\mathrm{P}$の座標が$(0,\ 2)$のときは$x_q=\pi$となるように$\mathrm{Q}$をとる
$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$と一致する場合は$\mathrm{Q}$も$\mathrm{O}$とし,$\theta=0$とする \end{itemize}
(2) $\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(4) $\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,$y_q$の最大値と最小値を求めよ.
(5) $\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,$\mathrm{Q}$の描く曲線と$y$軸および直線$y=2$で囲まれる部分の面積を求めよ.
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