佐賀大学
2011年 理工学部 第2問
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![多項式f(x)=x^4-x^3+cx^2-11x+dについて,f(1+√2)=0が成り立つとする.ここで,c,dは有理数とする.次の問いに答えよ.(1)S={a+√2b\;|\;a,b は有理数 }とする.集合Sの元z=a+√2b(ただし,a,bは有理数)に対して,j(z)=a-√2bと定義する.Sの任意の元z,wに対して,j(z+w)=j(z)+j(w)およびj(zw)=j(z)j(w)が成り立つことを示せ.(2)(1)を用いて,Sの元zがf(z)=0を満たせば,f(j(z))=0が成り立つことを示せ.このことを用いて,f(1-√2)=0を示せ.(3)有理数c,dを求め,f(x)を有理数の範囲で因数分解せよ.](./thumb/711/2923/2011_2.png)
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多項式$f(x)=x^4-x^3+cx^2-11x+d$について,$f(1+\sqrt{2})=0$が成り立つとする.ここで,$c,\ d$は有理数とする.次の問いに答えよ.
(1) $S=\{a+\sqrt{2}b \;|\; a,\ b \text{は有理数} \}$とする.集合$S$の元$z=a+\sqrt{2}b \ $(ただし,$a,\ b$は有理数)に対して,$j(z)=a-\sqrt{2}b$と定義する.$S$の任意の元$z,\ w$に対して,$j(z+w)=j(z)+j(w)$および$j(zw)=j(z)j(w)$が成り立つことを示せ.
(2) (1)を用いて,$S$の元$z$が$f(z)=0$を満たせば,$f(j(z))=0$が成り立つことを示せ.このことを用いて,$f(1-\sqrt{2})=0$を示せ.
(3) 有理数$c,\ d$を求め,$f(x)$を有理数の範囲で因数分解せよ.
(1) $S=\{a+\sqrt{2}b \;|\; a,\ b \text{は有理数} \}$とする.集合$S$の元$z=a+\sqrt{2}b \ $(ただし,$a,\ b$は有理数)に対して,$j(z)=a-\sqrt{2}b$と定義する.$S$の任意の元$z,\ w$に対して,$j(z+w)=j(z)+j(w)$および$j(zw)=j(z)j(w)$が成り立つことを示せ.
(2) (1)を用いて,$S$の元$z$が$f(z)=0$を満たせば,$f(j(z))=0$が成り立つことを示せ.このことを用いて,$f(1-\sqrt{2})=0$を示せ.
(3) 有理数$c,\ d$を求め,$f(x)$を有理数の範囲で因数分解せよ.
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