九州歯科大学
2010年 歯学部 第2問
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![辺AB,BC,CAの長さを,それぞれ,4,2,bとする△ABCの辺ACと∠ABCの2等分線の交点をDとする.α=∠BAC,β=∠ABC,γ=∠ACB,ベクトルu=tベクトルAB+(1-t)ベクトルBC+3/2ベクトルCDとおくとき,次の問いに答えよ.ただし,tは定数である.(1)△BCDの面積S_1と△ABDの面積S_2の比p=\frac{S_1}{S_2}の値を求めよ.(2)|ベクトルCD|と|ベクトルCA|の比r=\frac{|ベクトルCD|}{|ベクトルCA|}の値を求めよ.(3)w=|ベクトルu|^2+4btcosα+16t(1-t)cosβ+2b(1-t)cosγをbとtを用いて表せ.(4)t=pのとき,z=3|ベクトルu|+4w-b^2の値を求めよ.](./thumb/681/2149/2010_2.png)
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辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$の長さを,それぞれ,$4,\ 2,\ b$とする$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AC}$と$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線の交点を$\mathrm{D}$とする.$\alpha=\angle \mathrm{BAC}$,$\beta=\angle \mathrm{ABC}$,$\gamma=\angle \mathrm{ACB}$,$\displaystyle \overrightarrow{u}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{CD}}$とおくとき,次の問いに答えよ.ただし,$t$は定数である.
(1) $\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S_1$と$\triangle \mathrm{ABD}$の面積$S_2$の比$\displaystyle p=\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$の比$\displaystyle r=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|}$の値を求めよ.
(3) $w=|\overrightarrow{u}|^2+4bt \cos \alpha+16t(1-t) \cos \beta+2b(1-t) \cos \gamma$を$b$と$t$を用いて表せ.
(4) $t=p$のとき,$z=3|\overrightarrow{u}|+4w-b^2$の値を求めよ.
(1) $\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S_1$と$\triangle \mathrm{ABD}$の面積$S_2$の比$\displaystyle p=\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$の比$\displaystyle r=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|}$の値を求めよ.
(3) $w=|\overrightarrow{u}|^2+4bt \cos \alpha+16t(1-t) \cos \beta+2b(1-t) \cos \gamma$を$b$と$t$を用いて表せ.
(4) $t=p$のとき,$z=3|\overrightarrow{u}|+4w-b^2$の値を求めよ.
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