九州歯科大学
2012年 歯学部 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) 原点$\mathrm{O}$を中心とし,${150}^\circ$だけ回転すると,点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$(7,\ \sqrt{3})$に移った.$x$と$y$の値を求めよ.
(2) $x \geqq 0$と自然数$n$に対して,$2$つの曲線$y=\sqrt{x}$と$y=x^n \sqrt{x}$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする.一方,曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする.$7S_1=24S_2$をみたす$n$の値を求めよ.
(3) さいころを$3$回続けて投げたとき,第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数のいずれよりも大きくなる確率$P$を求めよ.また,第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数の積となる確率$Q$を求めよ.
(4) $\cos \theta=\sin^2 \theta$のとき,$\alpha=(1+\cos \theta)\cos \theta$と$\beta=\sin^8 \theta+2 \sin^6 \theta+3 \sin^4 \theta+2 \sin^2 \theta$の値を求めよ.
(1) 原点$\mathrm{O}$を中心とし,${150}^\circ$だけ回転すると,点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$(7,\ \sqrt{3})$に移った.$x$と$y$の値を求めよ.
(2) $x \geqq 0$と自然数$n$に対して,$2$つの曲線$y=\sqrt{x}$と$y=x^n \sqrt{x}$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする.一方,曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする.$7S_1=24S_2$をみたす$n$の値を求めよ.
(3) さいころを$3$回続けて投げたとき,第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数のいずれよりも大きくなる確率$P$を求めよ.また,第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数の積となる確率$Q$を求めよ.
(4) $\cos \theta=\sin^2 \theta$のとき,$\alpha=(1+\cos \theta)\cos \theta$と$\beta=\sin^8 \theta+2 \sin^6 \theta+3 \sin^4 \theta+2 \sin^2 \theta$の値を求めよ.
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