産業医科大学
2012年 医学部 第3問
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自然数$n$と$0$以上の整数$m$に対して，$\displaystyle p_n=\comb{2n}{n} {\left( \frac{1}{2} \right)}^{2n}$，$\displaystyle I_m=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \, dx$とおく．次の問いに答えなさい．
(1) すべての自然数$n$について$\displaystyle \left( n+\frac{1}{2} \right) {p_n}^2=\frac{bI_{2n}}{I_{2n+1}}$が成り立つように，定数$b$の値を求めなさい．
(2) $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$\sin^m x>\sin^{m+1} x>0$であることを用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} p_n$を求めなさい．
(1) すべての自然数$n$について$\displaystyle \left( n+\frac{1}{2} \right) {p_n}^2=\frac{bI_{2n}}{I_{2n+1}}$が成り立つように，定数$b$の値を求めなさい．
(2) $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$\sin^m x>\sin^{m+1} x>0$であることを用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} p_n$を求めなさい．
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