産業医科大学
2014年 医学部 第3問
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一辺の長さが$1$の正二十面体の$1$つの面を$\triangle \mathrm{ABC}$とする．さらに外接球の中心を$\mathrm{O}$とする．すなわち，この正二十面体の$12$個の頂点は中心を$\mathrm{O}$とする$1$つの球の上にある．次の問いに答えなさい．
(1) $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{O}$を通る平面でこの正二十面体を切ったとき，切り口として得られる六角形の面積を求めなさい．
(2) $\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{OD}$の長さを求めなさい．
(1) $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{O}$を通る平面でこの正二十面体を切ったとき，切り口として得られる六角形の面積を求めなさい．
(2) $\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{OD}$の長さを求めなさい．
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